Максимальний підмасив

На вході масив чисел, наприклад arr = [1, -2, 3, 4, -9, 6].

Завдання: знайти неперервний підмасив arr з максимальною сумою елементів.

Написати функцію getMaxSubSum(arr) яка повертає таку суму.

Наприклад:

          getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9]) == 5 (the sum of highlighted items)
getMaxSubSum([2, -1, 2, 3, -9]) == 6
getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9, 11]) == 11
getMaxSubSum([-2, -1, 1, 2]) == 3
getMaxSubSum([100, -9, 2, -3, 5]) == 100
getMaxSubSum([1, 2, 3]) == 6 (take all)
        

Якщо всі елементи менші нуля, нічого не беремо, це означає, що підмасив пустий, а сума рівна нулю:

getMaxSubSum([-1, -2, -3]) = 0

Будь ласка, подумайте над швидким рішенням: O(n²) або навіть над рішенням O(n), якщо зможете.

Відкрити пісочницю з тестами.

Повільне рішення

Ми можемо порахувати всі можливі підсуми.

Найпростіший шлях – це порахувати суми всіх підмасивів, починаючи з кожного елемента.

Наприклад, для [-1, 2, 3, -9, 11]:

          // Починаємо з -1:
-1
-1 + 2
-1 + 2 + 3
-1 + 2 + 3 + (-9)
-1 + 2 + 3 + (-9) + 11

// Починаємо з 2:
2
2 + 3
2 + 3 + (-9)
2 + 3 + (-9) + 11

// Починаємо з 3:
3
3 + (-9)
3 + (-9) + 11

// Починаємо з -9
-9
-9 + 11

// Починаємо з 11
11
        

Вирішення потребує використання циклів: зовнішний цикл проходить по елементах масиву, а внутрішній рахує підсуму починаючи з поточного елементу.

function getMaxSubSum(arr) {
  let maxSum = 0; // якщо елементи відсутні - повертаємо 0

  for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
    let sumFixedStart = 0;
    for (let j = i; j < arr.length; j++) {
      sumFixedStart += arr[j];
      maxSum = Math.max(maxSum, sumFixedStart);
    }
  }

  return maxSum;
}

alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9]) ); // 5
alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9, 11]) ); // 11
alert( getMaxSubSum([-2, -1, 1, 2]) ); // 3
alert( getMaxSubSum([1, 2, 3]) ); // 6
alert( getMaxSubSum([100, -9, 2, -3, 5]) ); // 100

Таке рішення має оцінку часу виконання O(n²). Інакше кажучи, якщо ми збільшимо розмір масиву вдвічі, алгоритм буде виконуватися в 4 рази довше.

Для великих масивів (1000, 10000 або більше елементів) подібні алгоритми можуть призводити до серйозних “пригальмувань” в роботі.

Швидке рішення

Пройдемося по масиву і в процесі будемо накопичувати проміжну суму елементів в змінній s. Якщо в певний момент s стане меншою за 0, присвоїмо s=0. Максимальне значення з усіх s і буде відповіддю.

Якщо пояснення не дуже зрозуміле, подивіться, будь ласка, на код – він досить лаконічний:

function getMaxSubSum(arr) {
  let maxSum = 0;
  let partialSum = 0;

  for (let item of arr) { // for each item of arr
    partialSum += item; // add it to partialSum
    maxSum = Math.max(maxSum, partialSum); // remember the maximum
    if (partialSum < 0) partialSum = 0; // zero if negative
  }

  return maxSum;
}

alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9]) ); // 5
alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9, 11]) ); // 11
alert( getMaxSubSum([-2, -1, 1, 2]) ); // 3
alert( getMaxSubSum([100, -9, 2, -3, 5]) ); // 100
alert( getMaxSubSum([1, 2, 3]) ); // 6
alert( getMaxSubSum([-1, -2, -3]) ); // 0

Цей алгоритм потребує рівно один прохід по масиву, його оціночний час виконання – O(n).

Ви можете дізнатися більше про цей алгоритм тут: Maximum subarray problem. Якщо досі не зрозуміло, як це працює, будь ласка, подивіться алгоритм у прикладах вище, це буде краще за будь-які слова.

Відкрити рішення із тестами в пісочниці.